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Autor Tema: Matemáticas para macrofotografía  (Leído 2893 veces)

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Matemáticas para macrofotografía
« en: Abril 19, 2014, 06:28:56 am »
De un blog en inglés que ya no existe, he traducido este interesante artículo que os puede ayudar a calcular la magnificación al usar tubos de extensión, lentes de aproximación, objetivos invertidos, objetivos apilados o combinaciones de estos sistemas. Espero que haya quedado claro y aunque está referido a Nikon, creo que las fórmulas os servirán igualmente.



Matemáticas para macrofotógrafos

He recolectado algunas ecuaciones y ejemplos que pueden ser útiles para los aficionados al macro. La pregunta frecuentemente hecha sobre el ratio de magnificación al usar tubos de extensión o fuelles, lentes de acercamiento, lentes invertidas solas o sobre otro objetivo (lentes apiladas), encuentran aquí su respuesta. También he incluido la ecuación para calcular la pérdida de luz provocada por el uso de tubos o fuelles, y en el capítulo final hay algunas fórmulas geométricas básicas usadas en el diseño de sistemas ópticos.
Aquellos lectores más familiarizados con esta materia, notarán que en todos menos en el último capítulo, he usado la focal “redondeada” de 50mm al usar el Nikkor AF 50/1.8D en los cálculos. Este objetivo tiene en realidad 52.5mm de longitud focal, cuando está enfocado a infinito, pero para ser lo más claro posible, he decidido usar el valor publicado de 50mm. Esto mismo se aplica a todos los objetivos, la longitud focal real y los valores de apertura se redondean al valor cercano más conveniente. Probablemente no exista ningún objetivo en el mundo cuya focal exacta sea 50mm y su apertura máxima sea 1.8 exactamente.
En el capítulo 9 presento un ejemplo con todas las formulas con números exactos, o al menos lo más exactos que pude.

Contenidos:
•   Tubos de extensión.
•   Objetivo invertido.
•   Objetivo invertido con tubos de extensión.
•   Lentes apiladas.
•   Lentes apiladas con tubos de extensión.
•   Lentes de aproximación.
•   Pérdida de luz con tubos de extensión.
•   Formulas geométricas básicas.
•   Test de ejemplo.


1. Tubos de extensión (ver imagen 1).

Los tubos de extensión son una forma barata de aumentar la magnificación de un objetivo. No tienen elementos ópticos en su interior, son simples tubos huecos, que añaden cierta distancia entre el objetivo y el sensor. Es importante tener en cuenta que si no tienen contactos, se perderá el control del diafragma desde la cámara, pudiendo entonces usarse solamente a diafragma totalmente abierto, a no ser que el objetivo cuente con anillo de control de diafragma, en cuyo caso habrá que controlarlo manualmente desde el mismo.

 La fórmula es: M = (( mL x F) + E) / F
 
donde
M = magnificación
mL = magnificación del objetivo solo (ver especificaciones del mismo)
F = longitud focal del objetivo en milímetros
E = extensión total de tubos en milímetros

Mi Nikkor AIS 105/2.8 alcanza una magnificación de 1:2 (= 0.5) por sí mismo. Podemos calcular la magnificación del sistema, al usar este objetivo con dos tubos que suman una extensión total de 80mm.
 M = ((0.5 x 105) + 80) / 105 = 1.26 ? 1.3
La magnificación del AIS Nikkor 105/2.8 con 80 mm de tubos de extensión es 1.3X.
 
2. Lentes invertidas (ver imagen 2 y 3).

Un objetivo puede montarse al revés, en posición invertida, mediante un anillo adaptador, que tiene bayoneta por el lado que se une a la cámara, y una rosca tipo filtro por el otro, que se enrosca en el objetivo. El efecto producido es que la distancia entre el sujeto y la cámara puede reducirse y de este modo la magnificación, aumentarse. Con este sistema no hay comunicación entre la cámara y el objetivo, de modo que se pierde el control del diafragma y solo se puede usar del mismo modo que los tubos de extensión sin contactos, es decir a diafragma abierto o con objetivos con anillo de control de diafragma.
 
No se puede calcular directamente la magnificación de extensión cero (Zm) del objetivo que queremos montar invertido, tenemos que hacer una foto de prueba de una regla milimetrada, para determinar este valor, o encontrar la información en el manual del objetivo. En mi caso he invertido mi Nikkor AF 50/1.8D usando el anillo de inversión Nikon BR2A, enfocado a infinito y he tomado una foto de una regla milimetrada.
 
La imagen final de la regla muestra una longitud de 32.5 milímetros. El sensor de la Nikon D200 es de 23.6 milímetros de ancho, luego la magnificación es:

Zm = anchura de imagen/anchura de sujeto = 23.6/32.5 = 0.73

La magnificación de un Nikkor AF 50/1.8D invertido es 0.73X.
 
3. Objetivo invertido con tubos de extensión.

La fórmula para calcular la magnificación de un objetivo invertido con tubos de extensión es simple, pero uno debe primero determinar la magnificación de extensión cero (Zm) del objetivo en cuestión. Esto varía con cada objetivo y no se puede calcular directamente. Véase el capítulo 2 para determinar cómo se halla este valor.

La fórmula es:

M = Zm + (E / F)
 
donde
M = magnificación
Zm = magnificación de extensión cero del objetivo invertido
E = extensión de tubos en milímetros
F = longitud focal del objetivo en milímetros

Usando el Nikkor AF 50/1.8D invertido en un tubo de extensión de 27.5 mm, podemos calcular la magnificación final, que sería:
M = 0.73 + (27.5/50) = 1.28 ? 1.3
La magnificación de un Nikkor AF 50/1.8D invertido, con 27.5 mm de tubos de extensión es 1.3X.

4. Objetivos apilados (ver imagen 4 y 5).

Podemos obtener una gran magnificación cuando apilamos dos objetivos. Solo necesitamos un barato anillo con dos roscas macho-macho para enroscar las dos lentes juntas.
El objetivo principal va montado en la cámara normalmente y el objetivo apilado se enrosca invertido enfrente del principal. El objetivo principal debería tener una longitud focal mayor que el invertido, que no puede ser un zoom, además se aconseja que sea este un objetivo luminoso y de diámetro de filtro igual o similar al objetivo principal, para evitar viñeteos en la imagen. Normalmente lo mejor es dejar el diafragma del objetivo invertido abierto. Este objetivo invertido actúa como si fuera una lente de aproximación añadida al objetivo principal, pero generalmente con un valor de dioptrías muy alto.
La fórmula para calcular la magnificación de dos objetivos apilados es:

M = FP / FR
 
donde
M = magnificación
FP = longitud focal del objetivo principal
FR = longitud focal del objetivo invertido

Usando un AIS Nikkor 105/2.8 como objetivo principal, y montando el Nikkor AF 50/1.8D en posición invertida sobre este, obtenemos:
M = 105/50 = 2.1
La magnificación total de un Nikkor AIS 105/2.8 con un Nikkor AF 50/1.8D invertido es 2.1X.
 
5. Objetivos apilados con tubos de extensión.

Para calcular la magnificación al usar objetivos apilados junto a tubos de extensión, es más fácil si primero calculamos la distancia focal total del sistema de objetivos apilados. La fórmula para calcular la focal total del Sistema de objetivos apilados es:

Ftot= (FP x FR)/( FP  + FR)
 
donde
Ftot = longitud focal total del sistema de objetivos apilados
FP = longitud focal del objetivo principal
FR = longitud focal del objetivo invertido

Usando un AIS Nikkor 105/2.8 como objetivo principal, y montando el Nikkor AF 50/1.8D en posición invertida con un anillo de inversión obtenemos
Ftot = (105 x 50) / (105 + 50) = 33.8 ??34 mm
La focal total resultante de un Nikkor AIS 105/2.8 con un Nikkor AF 50/1.8D invertido es 34mm.
Una vez conocemos la longitud focal total del sistema de objetivos apilados, podemos añadir los tubos de extensión y calcular la magnificación final con la formula normal de tubos de extensión vista en el capítulo 1 y encontramos la necesaria mL con la fórmula del capítulo 4. Por ejemplo, añadiendo un tubo de 27.5 mm al Sistema de objetivos apilado que acabamos de ver, nos da una magnificación total de:

M = ((2.1 x 34) + 27.5) / 34 = 2.91

La magnificación de un AIS Nikkor 105/2.8 con un AF Nikkor 50/1.8D invertido y 27.5mm de tubos de extensión es 2.9X.

6. Lentes de aproximación (ver imagen 6).

El cálculo de la magnificación, al usar una lente de aproximación, sigue las mismas reglas que al usar objetivos apilados. Cuando el objetivo principal está enfocado a infinito, la distancia sujeto-sensor es la misma que la longitud focal de la lente de aproximación. La potencia de una lente de aproximación suele dares en dioptrías, pero es simple calcular su longitud focal.
 
La fórmula es

F = 1000/C

donde
F = longitud focal de la lente de aproximación
C = potencia en dioptrías

Por ejemplo, la lente close-up Canon 500D tiene una potencia de 2 dioptrías, de modo que encontramos que su longitud focal es F = 1000/2 = 500mm.

Caso A. foco en infinito.

Si añadimos esta lente al Nikkor AF-S VR 70-200/2.8G puesto a 200mm y enfocado a infinito, podemos calcular la magnificación con la fórmula del capítulo 4.
M = 200/500 = 0.4x

Caso B. foco en la mínima distancia de foco.

El objetivo Nikkor del ejemplo anterior, tiene una magnificación de 1:5.6 (0.18x) a su mínima distancia focal de 1.4 metros (1400 mm) y la longitud focal disminuye a 180 mm en el punto más largo del zoom, de acuerdo con la fórmula (b) del capítulo 8:

F = 1400 / (5.6 + 1/5.6 + 2) = 180 mm

La distancia objetivo-sensor T a la mínima distancia de enfoque, de acuerdo con la fórmula (c) del capítulo 8 es:

T = (0.178 + 1) x 180 = 212 mm

(el objetivo tiene 12mm de extensión interna en su mínima distancia de enfoque)
Podemos calcular la magnificación a la mínima distancia de enfoque de un Nikkor AF-S VR 70-200/2.8G con la lente Canon 500D usando la fórmula (a) del capítulo 8 si primero determinamos la Ftot del sistema (capítulo 5)

Ftot = (180 x 500) / (180 + 500) = 132 mm
M = (212/132) - 1 = 0.6x
 
7. Pérdida de luz con tubos de extensión.

Podemos calcular la pérdida de luz que resulta del uso de tubos de extensión, aunque las cámaras modernas tienen esto en cuenta mediante la medición TTL.
La fórmula de pérdida de luz (medida en pasos) es:

LL = (2 x ln (1+(E/F)) / ln 2
 
donde
LL = pérdida de luz en pasos.
E = longitud de tubos de extensión.
F = longitud focal del objetivo.
ln = función de logaritmo neperiano o natural.

Si usamos 72.5 mm de tubos de extensión (27.5 + 55 mm) con el Nikkor AIS 105/2.8, la pérdida de luz causada por los tubos de extensión es:
LL = (2 x ln(1 + 72.5/105)) / ln 2 = 1.5 pasos

Esta fórmula también explica los cambios en la apertura efectiva, que las cámaras modernas indican cuando se usan objetivos macro con CPU y extensión interna, por ejemplo el Nikkor AF-S 60/2.8G Micro.
 
8. Formulas geométricas básicas.

La fórmula básica es la del ratio de reproducción o magnificación, que dice que

Magnificación = tamaño en el sensor / tamaño real

Esto es, si hacemos una foto de una moneda de 10 céntimos, que tiene un diámetro de 15 milímetros y se proyecta en el sensor con un diámetro de 7.5 milímetros, tenemos un ratio de reproducción o magnificación de 7.5:15 = 1:2 = 0.5x.

De acuerdo con las leyes de geometría óptica, encontramos que:

(a)   M = (T / Ftot ) -1
 
donde
M = magnificación
T = distancia entre el objetivo y el sensor (desde el centro óptico del objetivo)
Ftot = longitud total del sistema de lentes

De acuerdo a esta fórmula (a) encontramos que la magnificación aumenta, si aumentamos la distancia (extensión) entre el sensor y el objetivo, o bien si disminuimos la longitud focal. La fórmula indica también que cuando un objetivo está enfocado a infinito, T = F. Con un sujeto en el infinito, este será reproducido en el sensor con un tamaño despreciable, ya que T/F = 1 y por tanto M = 0.
 
Muchos objetivos tienen la propiedad de que su longitud focal disminuye al enfocar más cerca que infinito. Podemos usar esta relación básica:

D = F x (1/M + M +2)
 
donde
D = distancia de enfoque (distancia entre el sujeto y el sensor)
F = longitud focal
M = magnificación

Si despejamos F en esta ecuación, obtenemos que:

(b)   F = D / (1/M +M + 2)
 
Podemos calcular la longitud focal del Nikkor AF-S 70-200/2.8G a su distancia mínima de enfoque, donde M=0.18 (1:5.6) y D=1400 mm (1.4 metros)
F = (1400 / (5.6 + 0.18 + 2)) = 180 mm

Si despejamos T en la ecuación, obtenemos que:

(c)   T = (M + 1) x F
 
Con todos los objetivos enfocados a infinito T = F pero en distancias más cortas, la T aumenta debido a la extensión interna del objetivo. Por ejemplo, el Nikkor AF-S VR  70-200/2.8G tiene:
T = (0.18 + 1) x 180 = 212 mm
porque M = 0.18 y F = 180 mm en la mínima distancia de enfoque.
De este modo, podemos ver que el objetivo tiene 12 mm de extensión interna a su mínima distancia de enfoque.

9. Test de ejemplo (ver imagen 7).

Para verificar la exactitud de las fórmulas, he hecho algunos test, he aquí un ejemplo, que usa casi todas las fórmulas que os he presentado. Esta vez no hay redondeo en las cifras, de modo que usé la base de datos de objetivos Nikkor para encontrar los valores exactos, y usé bastantes decimales en los cálculos.
Decidí usar el Nikkor AIS 105/2.8 como objetivo principal, un Nikkor AF 50/1.8D apilado sobre él en posición invertida, y como añadido usé 107.5 mm de tubos de extensión entre la cámara y el objetivo principal.

M = ((mL x F) + E) / F
 
Usaremos la formula superior (vista en el capítulo 1), pero primero necesitamos conocer la longitud focal del sistema de objetivos apilados (Ftot) y la magnificación de dicho sistema (mL). Para calcular la Ftot necesitamos primero conocer la longitud focal del AIS 105/2.8 (que llamaremos F105) cuando está enfocado a su mínima distancia de enfoque (410 mm y una magnificación de 0.5x).
La fórmula (b) del capítulo 8 nos da la longitud focal a su mínima distancia de enfoque:

F105 = (410/(0.5 + 2 + 2)) = 91.1 mm

La longitud focal exacta del Nikkor AF 50/1.8D cuando está enfocado a infinito, es 52.5 mm (según la base de datos de objetivos Nikkor). De acuerdo a la fórmula del capítulo 5, obtenemos la longitud focal total del Sistema de estos dos objetivos apilados:

Ftot = (91.1 x 52.5) / (91.1 + 52.5) = 33.31 mm

La mL magnificación de este Sistema puede calcularse con la fórmula del capítulo 4:
mL = 91.1/52.5 = 1.74

Ahora tenemos todos los valores necesarios que la formula requiere:
M = magnificación
mL = 1.74
F = 33.31
E = 107.5
 
Solución:
M = ((1.74 x 33.31) + 107.5) / 33.31 = 4.97
 
Conclusión.

La imagen de ejemplo al principio de este capítulo muestra una regla en la que se puede ver una altura de 3.25mm. De hecho es la misma regla que usé anteriormente en el capítulo 2. El sensor de la Nikon D200 tiene una altura de 15.8 mm, de modo que la magnificación real es:
M = 15.8/3.25 = 4.86
La magnificación real parece ser de 4.86 y la calculada de 4.97 lo que no está tan mal, ya que el error es solo del 2.2%. Este error proviene seguramente de pequeños errores en los valores publicados del AIS 105/2.8, así como en algunos redondeos en los cálculos.
 

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Re:Matemáticas para macrofotografía
« Respuesta #1 en: Abril 19, 2014, 06:29:52 am »
Añado las dos imagenes que faltaban.
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Lagrimon.

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Re:Matemáticas para macrofotografía
« Respuesta #2 en: Abril 25, 2014, 06:18:44 pm »
Maestro, muy buen trabajo,menudo curro te has metido,lo que pasa es que las matemáticas no es lo mio 045 045 045.Un abrazo
Alpha A99--Sony 28-75mm 2.8-Minolta 50 mm 1.7-Minolta 50 mm 3.5 macro-Minolta 35-70 macro-Minolta-70-210 f4 beercam-Tamron 35-135 macro-Tamron 90 mm F2.8 macro-Tamron 150-600 flash HVL-42AM-HVL-43M-

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Re:Matemáticas para macrofotografía
« Respuesta #3 en: Abril 25, 2014, 10:47:46 pm »
¡Archivado!

Muchas gracias por esta estupenda recopilación. Ahorra mucho tiempo, tener toda la información en un mismo sitio, cuando la necesitas.

Un abrazo.
Sony A77 II / Sony A580 / DT 16-80 mm F3,5-4,5 ZA / Tamron SP AF 90mm F/2.8 Di MACRO 1:1 / SIGMA 150-2,8 APO MACRO EX DG OS HSM / Sigma 150-500mm f5-6.3 DG APO OS HSM / Sony HVL-F43AM / ...

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Re:Matemáticas para macrofotografía
« Respuesta #4 en: Abril 29, 2014, 03:44:00 am »
De nada compis ;)
Zapa en realidad no hace falta que te leas todo el tocho (reconozco que asusta un poco), basta con pillar la fórmula que necesites en cada momento, estás no son complicadas 004
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